![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
pancha(перепост своей записи с ВВВ-Доска, для последующих ссылок)
В чем там дело. На плоскости стоит сфера. Все, ясен пень, идеально плоское и абсолютно круглое, как и полагается в воображении. Сфера, как легко заметить, соприкасается с плоскостью ровно в одной точке. Пусть это у нас будет точка ноль. На картинке и оси координатные сразу проведены, чтобы понятнее.
Теперь возьмем самую верхнюю точку сферы, она будет на другом конце диаметра, ровно напротив точки ноль. А теперь возьмем и проведем из этой верхней точки прямую, чтобы проткнула и сферу, и плоскость. Заметили? Прямая, как ее ни проведи из вершинки, в какую бы сторону, всегда соединяет собой ровно одну точку на сфере и ровно одну точку на плоскости. Или встанет параллельно плоскости, будет на этой вершинке крутиться-касаться, а нигде плоскость больше не пересечет.
Теперь - внимание! - следующий ход абстракции. Сколько на плоскости точек? Со школы даже двоечники помнят - бесконечное число. Даже хуже - континуум! Бесконечное, да еще и непрерывное, сплошное, ни одного промежутка... А сколько точек на поверхности сферы? Правильно, тоже континуум.
И что мы, получается, сейчас прямой этой, всё пронзающей наделали? Да соединили, сопоставили один континуум другому, буквально, в каждой его континуумной точке: точка тебе - точка мне, точка тебе - точка мне... И т.д. ровно континуум раз.
Еще не забрезжило? Сейчас будет кульминация!.. *потирает руки* "А как же быть с самой верхней точкой сферы-то? - мог бы спросить внимательный слушатель. - Ей-то какая точка плоскости будет сопоставлена? Ведь прямая-касательная нигде плоскость не пересекает, она же параллельная!" Именно! Именно, дорогой внимательный слушатель. Не пересекает нигде. Этой точке сферы мы с вами сейчас очередным ходом абстракции назначим особую точку плоскости. Которая на плоскости никакая вообще не точка, а - край, бесконечно протяженный, никогда не достижимый. У нас же в воображении все плоскости идеальные, бесконечные, а не какие-нибудь, там, ограниченные многоугольники. И назовем мы тогда верхнюю точку сферы - точка Бесконечность.
А всю эту сферу, в которую как будто бы упаковалась точка за точкой вся наша бесконечная плоскость, назовем сферой Римана. Потому что это построение Бернхард Риман первый придумал, еще в 19 веке.
Если углубиться в абстракции еще чуть-чуть, обратим внимание, что точка Бесконечность, будучи частью сферы, сфере не принадлежит. Как когда разговор ведем о множествах точек, говорим: это точка, мол, принадлежит множеству, включена в него. Эта точка множеству не принадлежит, мол, особая точка множества. Она, блин, посреди комнаты лежать может, особая эта точка, а комнате, понимаете ли, не принадлежит!.. Точка Бесконечность на сфере Римана - именно такая особая точка получается, множеству точек сферы не принадлежащая. А принадлежал ли плоскости ее бесконечный край? Где он, вообще, край бесконечной плоскости? Вечная за ним погоня только, все пройденные точки тут же находят свои проекции, место на великой сфере, а впереди опять конца-края не видно...
Вот вам, заодно, и разрешение "парадокса Атрабет", когда Единый вроде как и Единый, и весь мир, и "миру не принадлежит". Не бесконечное это дело - замыкания строить. Кстати, с особой верхней точкой Бесконечность, сфера Римана - незамкнутое множество, открытое. Как и первоначальная плоскость. Это уже к вопросу о базовых концепциях и моделях мироздания.
(Продолжение: Численные методы-DW, Старушка Диалектика-DW)
http://sairon.livejournal.com/144510.html
В чем там дело. На плоскости стоит сфера. Все, ясен пень, идеально плоское и абсолютно круглое, как и полагается в воображении. Сфера, как легко заметить, соприкасается с плоскостью ровно в одной точке. Пусть это у нас будет точка ноль. На картинке и оси координатные сразу проведены, чтобы понятнее.
Теперь возьмем самую верхнюю точку сферы, она будет на другом конце диаметра, ровно напротив точки ноль. А теперь возьмем и проведем из этой верхней точки прямую, чтобы проткнула и сферу, и плоскость. Заметили? Прямая, как ее ни проведи из вершинки, в какую бы сторону, всегда соединяет собой ровно одну точку на сфере и ровно одну точку на плоскости. Или встанет параллельно плоскости, будет на этой вершинке крутиться-касаться, а нигде плоскость больше не пересечет.
Теперь - внимание! - следующий ход абстракции. Сколько на плоскости точек? Со школы даже двоечники помнят - бесконечное число. Даже хуже - континуум! Бесконечное, да еще и непрерывное, сплошное, ни одного промежутка... А сколько точек на поверхности сферы? Правильно, тоже континуум.
И что мы, получается, сейчас прямой этой, всё пронзающей наделали? Да соединили, сопоставили один континуум другому, буквально, в каждой его континуумной точке: точка тебе - точка мне, точка тебе - точка мне... И т.д. ровно континуум раз.
Еще не забрезжило? Сейчас будет кульминация!.. *потирает руки* "А как же быть с самой верхней точкой сферы-то? - мог бы спросить внимательный слушатель. - Ей-то какая точка плоскости будет сопоставлена? Ведь прямая-касательная нигде плоскость не пересекает, она же параллельная!" Именно! Именно, дорогой внимательный слушатель. Не пересекает нигде. Этой точке сферы мы с вами сейчас очередным ходом абстракции назначим особую точку плоскости. Которая на плоскости никакая вообще не точка, а - край, бесконечно протяженный, никогда не достижимый. У нас же в воображении все плоскости идеальные, бесконечные, а не какие-нибудь, там, ограниченные многоугольники. И назовем мы тогда верхнюю точку сферы - точка Бесконечность.
А всю эту сферу, в которую как будто бы упаковалась точка за точкой вся наша бесконечная плоскость, назовем сферой Римана. Потому что это построение Бернхард Риман первый придумал, еще в 19 веке.
Если углубиться в абстракции еще чуть-чуть, обратим внимание, что точка Бесконечность, будучи частью сферы, сфере не принадлежит. Как когда разговор ведем о множествах точек, говорим: это точка, мол, принадлежит множеству, включена в него. Эта точка множеству не принадлежит, мол, особая точка множества. Она, блин, посреди комнаты лежать может, особая эта точка, а комнате, понимаете ли, не принадлежит!.. Точка Бесконечность на сфере Римана - именно такая особая точка получается, множеству точек сферы не принадлежащая. А принадлежал ли плоскости ее бесконечный край? Где он, вообще, край бесконечной плоскости? Вечная за ним погоня только, все пройденные точки тут же находят свои проекции, место на великой сфере, а впереди опять конца-края не видно...
Вот вам, заодно, и разрешение "парадокса Атрабет", когда Единый вроде как и Единый, и весь мир, и "миру не принадлежит". Не бесконечное это дело - замыкания строить. Кстати, с особой верхней точкой Бесконечность, сфера Римана - незамкнутое множество, открытое. Как и первоначальная плоскость. Это уже к вопросу о базовых концепциях и моделях мироздания.
(Продолжение: Численные методы-DW, Старушка Диалектика-DW)
http://sairon.livejournal.com/144510.html
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2010-09-01 11:03 (UTC)no subject
Date: 2010-09-01 11:17 (UTC)no subject
Date: 2010-09-04 08:03 (UTC)no subject
Date: 2010-09-04 13:50 (UTC)Так и вижу демотиватор с подписью вроде "Бесконечность смотрит на тебя как на..." (Хотя вот уж кто _никогда_ так не смотрит...)
no subject
Date: 2010-09-08 15:18 (UTC)